Position relative de deux droites

Dans le plan, on considère trois points  \(\text A, \text B, \text C\) de sorte que \(\text C\) appartient au segment \([\text A\text B]\) . On construit les carrés \(\text A\text C\text D\text E\) et \(\text C\text B\text F\text G\) . Que peut-on dire des droites  \((\text A\text G)\) et \((\text B\text D)\) ?

1. Conjecturer la réponse en vous aidant du fichier de géométrie dynamique. Vous pouvez déplacer le point \(\text C\) et observer plusieurs configurations.

On munit le plan d'un système orthonormé \((\text A; \text I; \text J)\) .

2. Démontrer la propriété conjecturée dans le cas \(\text A\text B = 10, \text A\text C = 3\) .

3. Démontrer la propriété conjecturée dans le cas général.

Conseil (à lire que si vous êtes bloqué après avoir cherché)

• La question 1 peut se reformuler de la façon suivante : soit \(\text H\) le point d'intersection des droites \((\text A\text G)\) et \((\text B\text D)\) . Quelle semble être la mesure en degrés de l'angle \(\widehat {\text B\text H\text G}\) ? Que dire alors des droites  \((\text A\text G)\) et \((\text B\text D)\) ?
• À la question 2, la donnée d'un système orthonormé permet d'établir les coordonnées des points \(\text A, \text B, \text D\) et `\text{G}` puis des vecteurs \(\vec{\text A\text G}\) et \(\vec{\text B\text D}\) . Quelle propriété de cours permet de démontrer la conjecture émise à la question 1 ?
  
• Afin de passer au cas général évoqué dans la question 3, on peut poser \(\text A\text B=a\) et \(\text A\text C=b\) , où `a` et  `b` sont deux réels positifs avec `a>b` puis on peut suivre le raisonnement utilisé pour la question 2.